MaFy - Användarbidrag [sv]

Huvudsida

2022-07-04T06:40:10Z

Nikodemus:

Lektionsanteckningar mm i matematik och fysik

Under ständig uppbyggnad.

<categorytree mode="pages">Fysik 2</categorytree>
[[Fysikaliska begrepp|Sammanställning av fysikaliska begrepp]]

[[Några matematiska härledningar och bevis]]

[[Talet e och dess logaritm]]

[[Produkten av två negativa tal]]

[[Integralkalkylens fundamentalsats]]

Harmonisk svängning

2022-07-03T20:34:22Z

Nikodemus:

==Laborationer==

{| class="wikitable"
! style="font-weight:bold; font-family:'Lucida Sans Unicode', 'Lucida Grande', sans-serif !important;;" | Resurs
! style="font-weight:bold; font-family:'Lucida Sans Unicode', 'Lucida Grande', sans-serif !important;;" | Kommentar
|-
| [https://docs.google.com/document/d/1FvMvGgXFdzhgosyJkQkb4WyWPCodWwXzf8890olTEqo/edit?usp=sharing Laboration - Undersök en fjäderpendel]
| Den sista uppgiften i dokumentet, uppgift 8, refererar till läroboken Ergo 2. Laborationen är ganska omfattande, möjligen kan man ge fjäderkonstanterna från början. Syftet med laborationen är att eleven experimentellt ska komma fram till formeln för periodtiden i en harmonisk svängning.
|-
| [https://docs.google.com/document/d/1DmtU-1BGMFma1oEqdK7IRN03JV0w0Np0lhGPP4ByyS0/edit?usp=sharing Laboration - Tröghetsvåg]
| Någorlunda kort laboration som går ut på att eleven med hjälp av befintlig formel för harmonisk svängning samt en vikt med känd massa ska bestämma massan på en okänd vikt.
|}

==Övningsuppgifter==
{| class="wikitable"
! style="font-weight:bold; font-family:'Lucida Sans Unicode', 'Lucida Grande', sans-serif !important;;" | Resurs
! style="font-weight:bold; font-family:'Lucida Sans Unicode', 'Lucida Grande', sans-serif !important;;" | Kommentar
|-
| [https://docs.google.com/document/d/1h0E-l1ZTJxuDbAzniHGC6jgShSePZvmTxMjVDnKEbd0/edit?usp=sharing Övningsuppgifter]
| Några lite mer utmanande övningsuppgifter.
|}

==Fördjupning==
Det är viktigt att eleverna är bekanta med Hookes lag, <math>F=-kx</math>. Eftersom vidare <math>F=ma=m\frac{d^2x}{dt^2}</math> gäller

<math>\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{k}{m}x=0</math>,

som har lösningarna

<math>x(t)=C_1\cos{\sqrt{\frac{k}{m}}t} + C_2\sin{\sqrt{\frac{k}{m}}t}</math>

Om vi låter pendeln vara i jämviktsläget vid tiden <math>t=0</math> så erhålls lägesbeskrivningen som <math>x(0)=0\Rightarrow x(t)=C_2\sin{\sqrt{\frac{k}{m}}t}</math>. Vändläget nås då vid tiden <math>t=\frac{T}{4}</math>, där är hastigheten noll och läget är amplituden <math>A</math> (maximalt avstånd från jämviktsläget). Det ger <math>\frac{dx}{dt}\left\vert_{t=\frac{T}{4}}\right .=0\Rightarrow C_2=A</math>.

Då erhålls det välkända sambandet mellan läge och tid för en massa som svänger runt ett jämviktsläge i en harmonisk svängning: <math>x(t)=A\sin\sqrt{\frac{k}{m}}t</math>

Eftersom faktorn <math>\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{2\pi}{T}</math>, så gäller att <math>T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}</math>.

[[Category:Laboration]]
[[Category:Mekanik]]
[[Category:Mekanik:Harmonisk svängning]]
[[Category:Artiklar]]
[[Category:Mekanisk vågrörelse]]

Huvudsida

2022-07-03T20:29:31Z

Nikodemus:

Lektionsanteckningar mm i matematik och fysik

Under ständig uppbyggnad.

<categorytree>Fysik 2</categorytree>
[[Fysikaliska begrepp|Sammanställning av fysikaliska begrepp]]

[[Några matematiska härledningar och bevis]]

[[Talet e och dess logaritm]]

[[Produkten av två negativa tal]]

[[Integralkalkylens fundamentalsats]]

Kategori:Fysik 2

2022-07-03T20:24:38Z

Nikodemus: Skapade tom sida

Logg

2022-07-03T19:42:07Z

Nikodemus:

2022-07-03:Uppdatering av MediwWiki till version 1.38.1 (Jag vet, det var ett tag sedan.)
2020-01-24:Uppdatering av MediwWiki till version 1.34.0
2019-10-12:Uppdatering av MediwWiki till version 1.33.1
2019-05-18:Uppdatering av MediwWiki till version 1.33.0

2019-05-18: Uppstart och konfigurering. Installerade tillägget [https://www.mediawiki.org/wiki/Extension:SimpleMathJax SimpleMathJax]. Lyckades till slut konfigurera webbservern så att adresserna (URL) blir snygga [https://shorturls.redwerks.org med hjälp av detta verktyg] och [https://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Short_URL informationen på denna sida]. Än så länge heter webbplatsen enbart MaFy.

Tekniskt underhåll

2020-01-24T17:19:25Z

Nikodemus:

== Att komma igång ==
Information om hur wiki-programvaran används finns i [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Help:Contents användarguiden].
* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:Configuration_settings Lista över konfigurationsinställningar]
* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:FAQ MediaWiki FAQ]
* [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce E-postlista för nya versioner av MediaWiki]
* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Localisation#Translation_resources Lokalisera MediaWiki för ditt språk]
* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:Combating_spam Läs om hur du bekämpar spam på din wiki]

==Underhåll==
* [https://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Reduce_size_of_the_database Att komprimera databasen]
* [https://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Interface/Sidebar Redigera sidofältet]
* [https://techwelkin.com/how-to-upgrade-mediawiki-to-latest-version Uppdatera MediaWiki]

==Uppdateringsprocedur==
[https://www.mediawiki.org/wiki/Download: Ladda ned senaste versionen av MediaWiki]

Exekvera

<code>tar xvzf PACKAGE_FILE_NAME -C PATH_TO_WIKI --strip-components=1</code>

Kör

<code>PATH_TO_WIKI/maintenance/update.php</code>

Klart!

[[Category:Tekniskt]]

Logg

2020-01-24T15:57:49Z

Nikodemus:

2020-01-24:Uppdatering av MediwWiki till version 1.34.0
2019-10-12:Uppdatering av MediwWiki till version 1.33.1
2019-05-18:Uppdatering av MediwWiki till version 1.33.0

2019-05-18: Uppstart och konfigurering. Installerade tillägget [https://www.mediawiki.org/wiki/Extension:SimpleMathJax SimpleMathJax]. Lyckades till slut konfigurera webbservern så att adresserna (URL) blir snygga [https://shorturls.redwerks.org med hjälp av detta verktyg] och [https://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Short_URL informationen på denna sida]. Än så länge heter webbplatsen enbart MaFy.

Logg

2020-01-24T15:57:11Z

Nikodemus:

2020-01-24:Uppdatering av MediwWiki till version 1.34.0
2019-10-12:Uppdatering av MediwWiki till version 1.33.1
2019-05-18:Uppdatering av MediwWiki till version 1.33.0

2019-05-18: Uppstart och konfigurering. Installerade tillägget [https://www.mediawiki.org/wiki/Extension:SimpleMathJax SimpleMathJax]. Lyckades till slut konfigurera webbservern så att adresserna (URL) blir snygga [https://shorturls.redwerks.org med hjälp av detta verktyg] och [https://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Short_URL informationen på denna sida]. Än så länge heter webbplatsen enbart MaFy.

Logg

2019-10-12T09:03:26Z

Nikodemus:

2019-10-12:Uppdatering av MediwWiki till version 1.33.1
2019-05-18:Uppdatering av MediwWiki till version 1.33.0

2019-05-18: Uppstart och konfigurering. Installerade tillägget [https://www.mediawiki.org/wiki/Extension:SimpleMathJax SimpleMathJax]. Lyckades till slut konfigurera webbservern så att adresserna (URL) blir snygga [https://shorturls.redwerks.org med hjälp av detta verktyg] och [https://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Short_URL informationen på denna sida]. Än så länge heter webbplatsen enbart MaFy.

Väder och klimat

2019-09-03T06:23:09Z

Nikodemus:

Sidan är under uppbyggnad.

[https://www.dn.se/nyheter/sverige/du-gar-i-vadret-varje-dag-men-vet-du-varfor-det-finns/ Bollings väderlek, Varför finns det väder?, instruktivt klipp på Dagens nyheter]

[https://www.dn.se/nyheter/sverige/kan-man-lita-pa-vaderprognoser/ Bollings väderlek, Kan man lita på väderprognoser?]

[https://www.dn.se/nyheter/sverige/sa-hittar-du-basta-semestervadret/ Bollings väderlek, Så hittar du det bästa semestervädret]

[https://www.dn.se/nyheter/sverige/bollings-vaderlek-varfor-slar-prognoserna-fel-pa-sommaren/ Bollings väderlek, Därför slår prognoserna ofta fel på sommaren]

[[Category:Klimat och väder]]

Fil:Refraction animation.gif

2019-08-10T17:10:40Z

Nikodemus: Hämtad från: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Refraction_animation.gif

== Sammanfattning ==
Hämtad från: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Refraction_animation.gif

Logg

2019-07-08T10:18:34Z

Nikodemus:

2019-05-18:Uppdatering av MediwWiki till version 1.33.0

2019-05-18: Uppstart och konfigurering. Installerade tillägget [https://www.mediawiki.org/wiki/Extension:SimpleMathJax SimpleMathJax]. Lyckades till slut konfigurera webbservern så att adresserna (URL) blir snygga [https://shorturls.redwerks.org med hjälp av detta verktyg] och [https://www.mediawiki.org/wiki/Manual:Short_URL informationen på denna sida]. Än så länge heter webbplatsen enbart MaFy.

Talet e och dess logaritm

2019-07-08T09:43:14Z

Nikodemus:

==Talet <math>e</math>==
Talet <math>e</math> används ofta som bas i [[exponentialfunktion|exponentialfunktioner]]. En orsak till detta är att funktionen då blir lätt att derivera och integrera.

===Representationer===
Då talet <math>e</math> utgör basen i en exponentialfunktion, <math>f(x)=e^x</math>, ger det funktionen egenskapen att dess derivata är lika med funktionsvärdet i deriveringspunkten.

Talet <math>e</math> kan uttryckas som ett gränsvärde enligt (se [[Några_matematiska_härledningar_och_bevis#Värdet på basen av den naturliga logaritm|denna sida för detaljer]])

<math>\displaystyle\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>

eller som en oändlig serie enligt

<math>\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+...</math>

Talet kan även uttryckas på [https://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)#Representations flera andra sätt].

Tekniskt underhåll

2019-06-11T19:34:24Z

Nikodemus:

Tekniskt underhåll

2019-06-11T19:34:07Z

Nikodemus:

Integralkalkylens fundamentalsats

2019-06-08T12:50:54Z

Nikodemus: /* Exempel 3 */

Integralkalkylens fundamentalsats ger sambandet mellan [[derivata]] och [[integral]], alltså sambandet mellan lutningen på en kurva och arean under densamma.

[[File:Integralkalkylens_fundamentalsats_-_Bild.png|thumb|Figur 1: Arean <math>F(x)</math> under funktionsgrafen <math>y=f(t)</math>]]

Satsen består av två delar. Dels delen som anger sambandet mellan [[integral]] och [[primitiv funktion]]:

Del 1: <math>F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt\iff \frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)</math>

Och dels delen som anger hur en integrals värde ska evalueras med hjälp av den [[primitiv funktion|primitiva funktionen]]:

Del 2: <math>I=\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)</math>

==Troliggörande av Del 1==
Mellan funktionsgrafen <math>y=f(t)</math> och <math>t-</math>axeln finns ett område med en area, se Figur 1 ovan. Om begränsningslinjen <math>t=x</math> flyttas åt höger en liten bit (den vänstra begränsningen ligger kvar) kommer arean att förändras med en viss förändringshastighet under förflyttningen. Det den första delsatsen säger är att areans förändringshastighet är samma som funktionsvärdet <math>f(x)</math>.

Detta kan strikt bevisas, och görs så t ex på [https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus#Proof_of_the_first_part denna sida på Wikipedia]. Här tänker jag istället troliggöra satsen med tre exempel.

===Exempel 1===
<math>f(t)=2t</math>

===Exempel 2===
<math>f(t)=t^3</math>

===Exempel 3===
<math>f(t)=t^2\cdot3^t</math>

==Troliggörande av Del 2==
Den andra delen av integralkalkylens fundamentalsats säger oss som sagt hur integraler ska evalueras med hjälp av primitiva funktion och integrationsgränser.

Integralkalkylens fundamentalsats

2019-06-08T12:47:12Z

Nikodemus: /* Exempel 2 */

Integralkalkylens fundamentalsats ger sambandet mellan [[derivata]] och [[integral]], alltså sambandet mellan lutningen på en kurva och arean under densamma.

[[File:Integralkalkylens_fundamentalsats_-_Bild.png|thumb|Figur 1: Arean <math>F(x)</math> under funktionsgrafen <math>y=f(t)</math>]]

Satsen består av två delar. Dels delen som anger sambandet mellan [[integral]] och [[primitiv funktion]]:

Del 1: <math>F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt\iff \frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)</math>

Och dels delen som anger hur en integrals värde ska evalueras med hjälp av den [[primitiv funktion|primitiva funktionen]]:

Del 2: <math>I=\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)</math>

==Troliggörande av Del 1==
Mellan funktionsgrafen <math>y=f(t)</math> och <math>t-</math>axeln finns ett område med en area, se Figur 1 ovan. Om begränsningslinjen <math>t=x</math> flyttas åt höger en liten bit (den vänstra begränsningen ligger kvar) kommer arean att förändras med en viss förändringshastighet under förflyttningen. Det den första delsatsen säger är att areans förändringshastighet är samma som funktionsvärdet <math>f(x)</math>.

Detta kan strikt bevisas, och görs så t ex på [https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus#Proof_of_the_first_part denna sida på Wikipedia]. Här tänker jag istället troliggöra satsen med tre exempel.

===Exempel 1===
<math>f(t)=2t</math>

===Exempel 2===
<math>f(t)=t^3</math>

===Exempel 3===
Exempel 3

==Troliggörande av Del 2==
Den andra delen av integralkalkylens fundamentalsats säger oss som sagt hur integraler ska evalueras med hjälp av primitiva funktion och integrationsgränser.

Integralkalkylens fundamentalsats

2019-06-08T12:46:54Z

Nikodemus: /* Exempel 2 */

Integralkalkylens fundamentalsats ger sambandet mellan [[derivata]] och [[integral]], alltså sambandet mellan lutningen på en kurva och arean under densamma.

[[File:Integralkalkylens_fundamentalsats_-_Bild.png|thumb|Figur 1: Arean <math>F(x)</math> under funktionsgrafen <math>y=f(t)</math>]]

Satsen består av två delar. Dels delen som anger sambandet mellan [[integral]] och [[primitiv funktion]]:

Del 1: <math>F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt\iff \frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)</math>

Och dels delen som anger hur en integrals värde ska evalueras med hjälp av den [[primitiv funktion|primitiva funktionen]]:

Del 2: <math>I=\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)</math>

==Troliggörande av Del 1==
Mellan funktionsgrafen <math>y=f(t)</math> och <math>t-</math>axeln finns ett område med en area, se Figur 1 ovan. Om begränsningslinjen <math>t=x</math> flyttas åt höger en liten bit (den vänstra begränsningen ligger kvar) kommer arean att förändras med en viss förändringshastighet under förflyttningen. Det den första delsatsen säger är att areans förändringshastighet är samma som funktionsvärdet <math>f(x)</math>.

Detta kan strikt bevisas, och görs så t ex på [https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus#Proof_of_the_first_part denna sida på Wikipedia]. Här tänker jag istället troliggöra satsen med tre exempel.

===Exempel 1===
<math>f(t)=2t</math>

===Exempel 2===
<math>f(t)=t^2</math>

===Exempel 3===
Exempel 3

==Troliggörande av Del 2==
Den andra delen av integralkalkylens fundamentalsats säger oss som sagt hur integraler ska evalueras med hjälp av primitiva funktion och integrationsgränser.

Integralkalkylens fundamentalsats

2019-06-08T12:46:18Z

Nikodemus: /* Exempel 1 */

Integralkalkylens fundamentalsats ger sambandet mellan [[derivata]] och [[integral]], alltså sambandet mellan lutningen på en kurva och arean under densamma.

[[File:Integralkalkylens_fundamentalsats_-_Bild.png|thumb|Figur 1: Arean <math>F(x)</math> under funktionsgrafen <math>y=f(t)</math>]]

Satsen består av två delar. Dels delen som anger sambandet mellan [[integral]] och [[primitiv funktion]]:

Del 1: <math>F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt\iff \frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)</math>

Och dels delen som anger hur en integrals värde ska evalueras med hjälp av den [[primitiv funktion|primitiva funktionen]]:

Del 2: <math>I=\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)</math>

==Troliggörande av Del 1==
Mellan funktionsgrafen <math>y=f(t)</math> och <math>t-</math>axeln finns ett område med en area, se Figur 1 ovan. Om begränsningslinjen <math>t=x</math> flyttas åt höger en liten bit (den vänstra begränsningen ligger kvar) kommer arean att förändras med en viss förändringshastighet under förflyttningen. Det den första delsatsen säger är att areans förändringshastighet är samma som funktionsvärdet <math>f(x)</math>.

Detta kan strikt bevisas, och görs så t ex på [https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus#Proof_of_the_first_part denna sida på Wikipedia]. Här tänker jag istället troliggöra satsen med tre exempel.

===Exempel 1===
<math>f(t)=2t</math>

===Exempel 2===
Exempel 2

===Exempel 3===
Exempel 3

==Troliggörande av Del 2==
Den andra delen av integralkalkylens fundamentalsats säger oss som sagt hur integraler ska evalueras med hjälp av primitiva funktion och integrationsgränser.

Integralkalkylens fundamentalsats

2019-06-08T12:46:03Z

Nikodemus: /* Exempel 1 */

Integralkalkylens fundamentalsats ger sambandet mellan [[derivata]] och [[integral]], alltså sambandet mellan lutningen på en kurva och arean under densamma.

[[File:Integralkalkylens_fundamentalsats_-_Bild.png|thumb|Figur 1: Arean <math>F(x)</math> under funktionsgrafen <math>y=f(t)</math>]]

Satsen består av två delar. Dels delen som anger sambandet mellan [[integral]] och [[primitiv funktion]]:

Del 1: <math>F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt\iff \frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)</math>

Och dels delen som anger hur en integrals värde ska evalueras med hjälp av den [[primitiv funktion|primitiva funktionen]]:

Del 2: <math>I=\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)</math>

==Troliggörande av Del 1==
Mellan funktionsgrafen <math>y=f(t)</math> och <math>t-</math>axeln finns ett område med en area, se Figur 1 ovan. Om begränsningslinjen <math>t=x</math> flyttas åt höger en liten bit (den vänstra begränsningen ligger kvar) kommer arean att förändras med en viss förändringshastighet under förflyttningen. Det den första delsatsen säger är att areans förändringshastighet är samma som funktionsvärdet <math>f(x)</math>.

Detta kan strikt bevisas, och görs så t ex på [https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus#Proof_of_the_first_part denna sida på Wikipedia]. Här tänker jag istället troliggöra satsen med tre exempel.

===Exempel 1===
Exempel 1
<math>f(t)=2t</math>

===Exempel 2===
Exempel 2

===Exempel 3===
Exempel 3

==Troliggörande av Del 2==
Den andra delen av integralkalkylens fundamentalsats säger oss som sagt hur integraler ska evalueras med hjälp av primitiva funktion och integrationsgränser.

Integralkalkylens fundamentalsats

2019-06-08T12:42:48Z

Nikodemus:

Integralkalkylens fundamentalsats ger sambandet mellan [[derivata]] och [[integral]], alltså sambandet mellan lutningen på en kurva och arean under densamma.

[[File:Integralkalkylens_fundamentalsats_-_Bild.png|thumb|Figur 1: Arean <math>F(x)</math> under funktionsgrafen <math>y=f(t)</math>]]

Satsen består av två delar. Dels delen som anger sambandet mellan [[integral]] och [[primitiv funktion]]:

Del 1: <math>F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt\iff \frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)</math>

Och dels delen som anger hur en integrals värde ska evalueras med hjälp av den [[primitiv funktion|primitiva funktionen]]:

Del 2: <math>I=\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)</math>

==Troliggörande av Del 1==
Mellan funktionsgrafen <math>y=f(t)</math> och <math>t-</math>axeln finns ett område med en area, se Figur 1 ovan. Om begränsningslinjen <math>t=x</math> flyttas åt höger en liten bit (den vänstra begränsningen ligger kvar) kommer arean att förändras med en viss förändringshastighet under förflyttningen. Det den första delsatsen säger är att areans förändringshastighet är samma som funktionsvärdet <math>f(x)</math>.

Detta kan strikt bevisas, och görs så t ex på [https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus#Proof_of_the_first_part denna sida på Wikipedia]. Här tänker jag istället troliggöra satsen med tre exempel.

===Exempel 1===
Exempel 1

===Exempel 2===
Exempel 2

===Exempel 3===
Exempel 3

==Troliggörande av Del 2==
Den andra delen av integralkalkylens fundamentalsats säger oss som sagt hur integraler ska evalueras med hjälp av primitiva funktion och integrationsgränser.

Integralkalkylens fundamentalsats

2019-06-08T08:21:08Z

Nikodemus:

Integralkalkylens fundamentalsats

2019-06-08T08:17:59Z

Nikodemus:

Integralkalkylens fundamentalsats

2019-06-08T08:17:22Z

Nikodemus:

Integralkalkylens fundamentalsats ger sambandet mellan derivata [[integral]], alltså sambandet mellan lutningen på en kurva och arean under densamma.

[[File:Integralkalkylens_fundamentalsats_-_Bild.png|thumb|Figur 1: Arean <math>F(x)</math> under funktionsgrafen <math>y=f(t)</math>]]

Satsen består av två delar. Dels delen som anger sambandet mellan [[integral]] och primitiv funktion:

<math>F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt\iff \frac{dF}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)</math>

Och dels delen som anger hur en integrals värde ska evalueras med hjälp av den [[primitiv funktion|primitiva funktionen]]:

<math>I=\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)</math>

Huvudsida

2019-06-08T08:10:11Z

Nikodemus:

Integralkalkylens fundamentalsats

2019-06-08T08:08:53Z

Nikodemus:

Integralkalkylens fundamentalsats ger sambandet mellan derivata [[integral]], alltså sambandet mellan lutningen på en kurva och arean under densamma.

[[File:Integralkalkylens_fundamentalsats_-_Bild.png|thumb|Figur 1: Arean <math>F(x)</math> under funktionsgrafen <math>y=f(t)</math>]]

Satsen består av två delar. Dels delen som anger sambandet mellan [[integral]] och primitiv funktion:

<math>F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt\iff \frac{dF}{dx}=f(x)</math>

Och dels delen som anger hur integralers värden ska evalueras med hjälp av den [[primitiv funktion|primitiva funktionen]]:

<math>I=\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)</math>

Integralkalkylens fundamentalsats

2019-06-08T07:42:26Z

Nikodemus:

Integralkalkylens fundamentalsats ger sambandet mellan derivata integral, alltså sambandet mellan lutningen på en kurva och arean under densamma.

[[File:Integralkalkylens_fundamentalsats_-_Bild.png|frame|Figur 1: Arean F(x) under funktionsgrafen y=f(t)]]

Fil:Integralkalkylens fundamentalsats - Bild.png

2019-06-08T07:27:27Z

Nikodemus:

Integralkalkylens fundamentalsats

2019-06-08T07:26:02Z

Nikodemus: Skapade sidan med 'Integralkalkylens fundamentalsats ger sambandet mellan derivata integral, alltså sambandet mellan lutningen på en kurva och arean under densamma.'

Integralkalkylens fundamentalsats ger sambandet mellan derivata integral, alltså sambandet mellan lutningen på en kurva och arean under densamma.

Stående våg

2019-06-05T13:05:43Z

Nikodemus: /* Noder på stående vågor */

==Vad en stående våg är==
Då två vågor möter varandra, på t ex en sträng, så ges den resulterande vågen som summan av de de båda vågornas utslag. Detta kallas för [[superpositionsprincipen]]. Under vissa sådana förhållanden skapas en stående våg. Det gäller när de båda vågornas våglängder är lika stora och då ett helt antal halva våglängder får plats på strängen. För stående vågor på en sträng gäller ofta att det är en [[reflexion|reflekterad]] våg som [[interferens|interfererar]] med den inkommande vågen.

===Utseende===
Beroende på ordningstalet på den stående vågen kommer den att ha olika antal bukar och noder, nedan visas stående vågor med ordningstalen 1 - 6. Våglängden beror på frekvensen vilket syns i bildsviten nedan; ju fler [[stående våg#Noder på stående vågor|noder]] på strängen, desto kortare våglängd och desto högre frekvens.

[[File:Standing_waves_on_a_string_animation.gif|frame|Stående vågor med ordningstalen 1 - 6.]]

===Kriterier för stående våg===
Om strängens längd är <math>L</math> och våglängden är <math>\lambda</math> så gäller att <math>L=n\cdot\frac{\lambda}{2}</math> för att en stående våg ska bildas. <math>n</math> är ordningstalet på den stående vågen, och olika värden på <math>n</math> ger olika antal [[stående våg#Noder på stående vågor|noder]] på den stående vågen.

Stående vågor kan inte enbart bildas på en sträng. De kan även bildas t ex i vatten, på membran och i akustiska musikinstrument (då är det frågan om [[ljudvåg|ljudvåg]]). Även [[atom|atomer]] kan beskrivas matematiskt på ett sätt som inkluderar stående vågor.

[https://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave Länk till Wikipedias sida om stående vågor]

[https://www.desmos.com/calculator/ndrx4f8kef Länk till interaktion i Desmos]

[[Category:Mekanisk vågrörelse]]
__FORCETOC__

==Bukar på stående vågor==
En buk, eller antinod, är en punkt på en stående våg där den ena vågens elongation maximalt förstärks av den mötande vågens elongation. Det resulterar i att punkten har en maximal amplitud. En buk återfinns mitt emellan två noder på en stående våg.

==Noder på stående vågor==
En nod är en punkt på en stående våg där den ena vågens elongation släcks ut av den mötande vågens motsatta elongation, vilket resulterar i att punkten förblir orörlig.

Huvudsida

2019-06-05T12:56:58Z

Nikodemus:

Produkten av två negativa tal

2019-06-05T12:56:19Z

Nikodemus: Skapade sidan med '==Varför <math>-1\cdot (-1)=1</math>== Vi vet att <math>-1\cdot 0 = 0</math> och att <math> -1\cdot 1 = 1\cdot (-1)=-1</math> Vi vet, enligt prioriteringsreglerna och ovan,...'

==Varför <math>-1\cdot (-1)=1</math>==
Vi vet att <math>-1\cdot 0 = 0</math> och att <math> -1\cdot 1 = 1\cdot (-1)=-1</math>

Vi vet, enligt prioriteringsreglerna och ovan, att <math>-1\cdot (-1+1) = -1\cdot 0 = 0</math>

Vi vet också, enligt den [[distributiva lagen]], att <math>-1\cdot (-1+1) = -1\cdot (-1) + (-1 \cdot 1)</math>

Därför måste gälla att <math>-1\cdot (-1) + (-1) = 0</math>

Eftersom ovanstående summa är noll, så måste dessa termer vara [[motsatta tal]] och därmed gäller att <math>-1\cdot(-1) = 1</math>.

Några matematiska härledningar och bevis

2019-06-02T17:50:27Z

Nikodemus: /* Metod 2, via l'Hôpital's regel för gränsvärdesberäkning */

==Värdet på basen av den naturliga logaritm==
===Metod 1, via serieutveckling===
Ansätt <math>y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math>

Logaritmering av respektive led ger:

<math>\ln y=x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)</math>

Enligt [[taylorutveckling|taylorutveckling]] av <math>\ln(1+a)</math> så gäller

<math>\ln(1+a)=a-\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{3}-\frac{a^4}{4}+...</math>

För värden på <math>a</math> nära noll gäller enligt detta att <math>\ln(1+a)\approx a</math> (ju närmare noll, desto bättre approximation), varför

<math>\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\approx\frac{1}{x}</math> för stora värden på <math>x</math>.

Således gäller att <math>\ln y \approx x\cdot \frac{1}{x}</math> för stora värden på <math>x</math>.

Antilogaritmering ger direkt att <math>y\approx e</math> med gränsvärdet

<math>e=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math> enligt ansättningen av <math>y</math> ovan.

----

===Metod 2, via [[l'Hôpital's regel]] för gränsvärdesberäkning===
Ansätt <math>y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math> och logaritmera:

<math>\ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\displaystyle\lim_{x\to \infty}x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)</math>, som kan skrivas om till

<math>\ln y = \displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x^{-1}}</math>

Här syns att såväl täljare och nämnare i uttrycket går mot noll när <math>x</math> ökar obegränsat. Enligt [[l'Hôpital's regel]] gäller då att gränsvärdet för uttrycket blir detsamma som gränsvärdet då täljare och nämnare deriveras:

<math>\ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)\cdot\left(0-x^{-2} \right)}{-x^{-2}}=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)=1</math>

Eftersom <math>\ln y=1</math> gäller att <math>y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e</math>.

Några matematiska härledningar och bevis

2019-06-02T17:49:37Z

Nikodemus: /* Metod 2, via l'Hôpital's regel för gränsvärdesberäkning */

==Värdet på basen av den naturliga logaritm==
===Metod 1, via serieutveckling===
Ansätt <math>y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math>

Logaritmering av respektive led ger:

<math>\ln y=x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)</math>

Enligt [[taylorutveckling|taylorutveckling]] av <math>\ln(1+a)</math> så gäller

<math>\ln(1+a)=a-\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{3}-\frac{a^4}{4}+...</math>

För värden på <math>a</math> nära noll gäller enligt detta att <math>\ln(1+a)\approx a</math> (ju närmare noll, desto bättre approximation), varför

<math>\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\approx\frac{1}{x}</math> för stora värden på <math>x</math>.

Således gäller att <math>\ln y \approx x\cdot \frac{1}{x}</math> för stora värden på <math>x</math>.

Antilogaritmering ger direkt att <math>y\approx e</math> med gränsvärdet

<math>e=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math> enligt ansättningen av <math>y</math> ovan.

----

===Metod 2, via [[l'Hôpital's regel]] för gränsvärdesberäkning===
Ansätt <math>y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math> och logaritmera:

<math>\ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\displaystyle\lim_{x\to \infty}x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)</math>, som kan skrivas om till

<math>\ln y = \displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x^{-1}}</math>

Det ser inte så roligt ut, men det syns att såväl täljare och nämnare i uttrycket går mot noll när <math>x</math> ökar obegränsat. Enligt [[l'Hôpital's regel]] gäller då att gränsvärdet för uttrycket blir detsamma som gränsvärdet då täljare och nämnare deriveras:

<math>\ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)\cdot\left(0-x^{-2} \right)}{-x^{-2}}=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)=1</math>

Eftersom <math>\ln y=1</math> gäller att <math>y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e</math>.

Några matematiska härledningar och bevis

2019-06-02T17:26:31Z

Nikodemus: /* Metod 1, via serieutveckling */

==Värdet på basen av den naturliga logaritm==
===Metod 1, via serieutveckling===
Ansätt <math>y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math>

Logaritmering av respektive led ger:

<math>\ln y=x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)</math>

Enligt [[taylorutveckling|taylorutveckling]] av <math>\ln(1+a)</math> så gäller

<math>\ln(1+a)=a-\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{3}-\frac{a^4}{4}+...</math>

För värden på <math>a</math> nära noll gäller enligt detta att <math>\ln(1+a)\approx a</math> (ju närmare noll, desto bättre approximation), varför

<math>\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\approx\frac{1}{x}</math> för stora värden på <math>x</math>.

Således gäller att <math>\ln y \approx x\cdot \frac{1}{x}</math> för stora värden på <math>x</math>.

Antilogaritmering ger direkt att <math>y\approx e</math> med gränsvärdet

<math>e=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math> enligt ansättningen av <math>y</math> ovan.

----

===Metod 2, via [[l'Hôpital's regel]] för gränsvärdesberäkning===
Ansätt <math>y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math> och logaritmera:

<math>\ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\displaystyle\lim_{x\to \infty}x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)</math>, som kan skrivas om till

<math>\ln y = \displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x^{-1}}</math>

Det ser inte så roligt ut, men det syns att såväl täljare och nämnare i uttrycket går mot noll när <math>x</math> ökar obegränsat. Enligt [[l'Hôpital's regel]] gäller då att gränsvärdet för uttrycket blir detsamma som gränsvärdet då täljare och nämnare deriveras:

<math>\ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)\cdot\left(0-x^{-2} \right)}{-x^{-2}}=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)=1</math>

Eftersom <math>\ln y=1</math> gäller att <math>y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e</math>.

Några matematiska härledningar och bevis

2019-06-02T17:05:21Z

Nikodemus:

==Värdet på basen av den naturliga logaritm==
===Metod 1, via serieutveckling===
Ansätt <math>y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math>

Logaritmering av respektive led ger:

<math>\ln y=x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)</math>

Enligt [[taylorutveckling|taylorutveckling]] av <math>\ln(1+a)</math> så gäller

<math>\ln(1+a)=a-\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{3}-\frac{a^4}{4}+...</math>

För värden på <math>a</math> nära noll gäller enligt detta att <math>\ln(1+a)\approx a</math> (ju närmare noll, desto bättre approximation), varför

<math>\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\approx\frac{1}{x}</math> för stora värden på <math>x</math>.

Således gäller att <math>\ln y \approx x\cdot \frac{1}{x}</math> för stora värden på <math>x</math>.

Antilogaritmering ger direkt att <math>y\approx e</math> med gränsvärdet

<math>e=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math> enligt ansättningen av <math>y</math> ovan.

===Metod 2, via [[l'Hôpital's regel]] för gränsvärdesberäkning===
Ansätt <math>y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math> och logaritmera:

<math>\ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\displaystyle\lim_{x\to \infty}x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)</math>, som kan skrivas om till

<math>\ln y = \displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x^{-1}}</math>

Det ser inte så roligt ut, men det syns att såväl täljare och nämnare i uttrycket går mot noll när <math>x</math> ökar obegränsat. Enligt [[l'Hôpital's regel]] gäller då att gränsvärdet för uttrycket blir detsamma som gränsvärdet då täljare och nämnare deriveras:

<math>\ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)\cdot\left(0-x^{-2} \right)}{-x^{-2}}=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)=1</math>

Eftersom <math>\ln y=1</math> gäller att <math>y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e</math>.

Logaritmer och logaritmlagarna

2019-06-02T17:01:13Z

Nikodemus: /* Idén med logaritmer */

==Idén med logaritmer==
Om vi, till en början, utgår från logaritmbasen 10 så innebär logaritmen <math>x</math> för ett tal <math>A</math> det tal som 10 ska höjas upp med för att få talet <math>A</math>. Eller enklare uttryckt:

<math>x=\log_{10}A\iff 10^x=A</math>

T ex gäller att <math>\log_{10}1000=3</math> därför att <math>10^3 = 1000</math> och att <math>\log_{10}0.01=-2</math> därför att <math>10^{-2}=0.01</math>

Vilken bas som används är valfri, även om de flesta miniräknare har en snabbknapp för basen 10 och för basen <math>e\approx 2.718</math>. Med en valfri logaritmbas <math>b</math> så blir definitionen på logaritm <math>x</math> för ett tal <math>A</math>

<math>x=\log_{b}A\iff b^x=A</math>

Idén med logaritmer härrör från början av 1600-talet, och det finns några räkneregler som förenklar vanliga multiplikations-, divisions- och potensoperationer. Det använde astronomer sig utav vid den tiden för att göra beräkningarna kortare (se denna artkel i Svenska Dagbladet: [https://www.svd.se/godsagaride-fordubblade-astronomers-liv Godsägaridé fördubblade astronomers liv]). Idag används logaritmer som mått vid t ex angivandet av ljudstyrka ([[decibel|decibelskalan]] är logaritmisk) och av jordbävningars magnitud ([[richterskalan|Richterskalan]] är logaritmisk).

===Logaritm av en produkt===
Logaritmlagen som associerar multiplikation med addition lyder:

<math>\log_b(AB)=\log_b A +\log_b B</math>

Den troliggörs enligt följande:

<math>x = \log_b A\iff A = b^x</math>

<math>y = \log_b B \iff B = b^y</math>

<math>A\cdot B=b^x\cdot b^y=b^{x+y}</math>

<math>\log_b(AB)=x+y=\log_bA+\log_bB</math>

===Logaritm av en kvot===
Logaritmlagen som associerar division med subtraktion lyder:

<math>\log_b\left(\frac{A}{B}\right)=\log_b A-\log_b B</math>

Den troliggörs enligt följande:

<math>x=\log_b A\iff A=b^x</math>

<math>y=\log_b B\iff B=b^y</math>

<math>\frac{A}{B}=\frac{b^x}{b^y}=b^{x-y}</math>

<math>\log_b\left(\frac{A}{B} \right)=x-y=\log_b A - \log_b B</math>

===Logaritm av en potens===
Logaritmlagen som associerar en exponent med multiplikation lyder:

<math>\log_b A^B=B\log A</math>

Den troliggörs enligt följande:

<math>x=\log_b A^B\iff A^B = b^x</math>

<math>y=\log_b A\iff A = b^y</math>

<math>A^B = \left(b^y \right)^B = b^{By}</math>

<math>\log_b A^B = By = B\log_b A</math>

Logaritmer och logaritmlagarna

2019-06-02T17:00:53Z

Nikodemus: /* Idén med logaritmer */

==Idén med logaritmer==
Om vi, till en början, utgår från logaritmbasen 10 så innebär logaritmen <math>x</math> för ett tal <math>A</math> det tal som 10 ska höjas upp med för att få talet <math>A</math>. Eller enklare uttryckt:

<math>x=\log_{10}A\iff 10^x=A</math>

T ex gäller att <math>\log_{10}1000=3</math> därför att <math>10^3 = 1000</math> och att <math>\log_{10}0.01=-2</math> därför att <math>10^{-2}=0.01</math>

Vilken bas som används är valfri, även om de flesta miniräknare har en snabbknapp för basen 10 och för basen <math>e\approx 2.718</math>. Med en valfri logaritmbas <math>b</math> så blir definitionen på logaritm <math>x</math> för ett tal <math>A</math>

<math>x=\log_{b}A\iff b^x=A</math>

Idén med Logaritmer härrör från början av 1600-talet, och det finns några räkneregler som förenklar vanliga multiplikations-, divisions- och potensoperationer. Det använde astronomer sig utav vid den tiden för att göra beräkningarna kortare (se denna artkel i Svenska Dagbladet: [https://www.svd.se/godsagaride-fordubblade-astronomers-liv Godsägaridé fördubblade astronomers liv]). Idag används logaritmer som mått vid t ex angivandet av ljudstyrka ([[decibel|decibelskalan]] är logaritmisk) och av jordbävningars magnitud ([[richterskalan|Richterskalan]] är logaritmisk).

===Logaritm av en produkt===
Logaritmlagen som associerar multiplikation med addition lyder:

<math>\log_b(AB)=\log_b A +\log_b B</math>

Den troliggörs enligt följande:

<math>x = \log_b A\iff A = b^x</math>

<math>y = \log_b B \iff B = b^y</math>

<math>A\cdot B=b^x\cdot b^y=b^{x+y}</math>

<math>\log_b(AB)=x+y=\log_bA+\log_bB</math>

===Logaritm av en kvot===
Logaritmlagen som associerar division med subtraktion lyder:

<math>\log_b\left(\frac{A}{B}\right)=\log_b A-\log_b B</math>

Den troliggörs enligt följande:

<math>x=\log_b A\iff A=b^x</math>

<math>y=\log_b B\iff B=b^y</math>

<math>\frac{A}{B}=\frac{b^x}{b^y}=b^{x-y}</math>

<math>\log_b\left(\frac{A}{B} \right)=x-y=\log_b A - \log_b B</math>

===Logaritm av en potens===
Logaritmlagen som associerar en exponent med multiplikation lyder:

<math>\log_b A^B=B\log A</math>

Den troliggörs enligt följande:

<math>x=\log_b A^B\iff A^B = b^x</math>

<math>y=\log_b A\iff A = b^y</math>

<math>A^B = \left(b^y \right)^B = b^{By}</math>

<math>\log_b A^B = By = B\log_b A</math>

Logaritmer och logaritmlagarna

2019-06-02T17:00:12Z

Nikodemus: Skapade sidan med '==Idén med logaritmer== Om vi, till en början, utgår från logaritmbasen 10 så innebär logaritmen <math>x</math> för ett tal <math>A</math> det tal som 10 ska höjas upp...'

==Idén med logaritmer==
Om vi, till en början, utgår från logaritmbasen 10 så innebär logaritmen <math>x</math> för ett tal <math>A</math> det tal som 10 ska höjas upp med för att få talet <math>A</math>. Eller enklare uttryckt:

<math>x=\log_{10}A\iff 10^x=A</math>

T ex gäller att <math>\log_{10}1000=3</math> därför att <math>10^3 = 1000</math> och att <math>\log_{10}0.01=-2</math> därför att <math>10^{-2}=0.01</math>

Vilken bas som används är valfri, även om de flesta miniräknare har en snabbknapp för basen 10 och för basen <math>e\approx 2.718</math>. Med en valfri logaritmbas <math>b</math> så blir definitionen på logaritm <math>x</math> för ett tal <math>A</math>

<math>x=\log_{b}A\iff b^x=A</math>

Logaritmerna härrör från början av 1600-talet, och det finns några räkneregler som förenklar vanliga multiplikations-, divisions- och potensoperationer. Det använde astronomer sig utav vid den tiden för att göra beräkningarna kortare (se denna artkel i Svenska Dagbladet: [https://www.svd.se/godsagaride-fordubblade-astronomers-liv Godsägaridé fördubblade astronomers liv]). Idag används logaritmer som mått vid t ex angivandet av ljudstyrka ([[decibel|decibelskalan]] är logaritmisk) och av jordbävningars magnitud ([[richterskalan|Richterskalan]] är logaritmisk).

===Logaritm av en produkt===
Logaritmlagen som associerar multiplikation med addition lyder:

<math>\log_b(AB)=\log_b A +\log_b B</math>

Den troliggörs enligt följande:

<math>x = \log_b A\iff A = b^x</math>

<math>y = \log_b B \iff B = b^y</math>

<math>A\cdot B=b^x\cdot b^y=b^{x+y}</math>

<math>\log_b(AB)=x+y=\log_bA+\log_bB</math>

===Logaritm av en kvot===
Logaritmlagen som associerar division med subtraktion lyder:

<math>\log_b\left(\frac{A}{B}\right)=\log_b A-\log_b B</math>

Den troliggörs enligt följande:

<math>x=\log_b A\iff A=b^x</math>

<math>y=\log_b B\iff B=b^y</math>

<math>\frac{A}{B}=\frac{b^x}{b^y}=b^{x-y}</math>

<math>\log_b\left(\frac{A}{B} \right)=x-y=\log_b A - \log_b B</math>

===Logaritm av en potens===
Logaritmlagen som associerar en exponent med multiplikation lyder:

<math>\log_b A^B=B\log A</math>

Den troliggörs enligt följande:

<math>x=\log_b A^B\iff A^B = b^x</math>

<math>y=\log_b A\iff A = b^y</math>

<math>A^B = \left(b^y \right)^B = b^{By}</math>

<math>\log_b A^B = By = B\log_b A</math>

Några matematiska härledningar och bevis

2019-06-02T15:56:13Z

Nikodemus: /* Logaritmlagarna */

==Logaritmer och logaritmlagarna==
Om vi, till en början, utgår från logaritmbasen 10 så innebär logaritmen <math>x</math> för ett tal <math>A</math> det tal som 10 ska höjas upp med för att få talet <math>A</math>. Eller enklare uttryckt:

<math>x=\log_{10}A\iff 10^x=A</math>

T ex gäller att <math>\log_{10}1000=3</math> därför att <math>10^3 = 1000</math> och att <math>\log_{10}0.01=-2</math> därför att <math>10^{-2}=0.01</math>

Vilken bas som används är valfri, även om de flesta miniräknare har en snabbknapp för basen 10 och för basen <math>e\approx 2.718</math>. Med en valfri logaritmbas <math>b</math> så blir definitionen på logaritm <math>x</math> för ett tal <math>A</math>

<math>x=\log_{b}A\iff b^x=A</math>

Logaritmerna härrör från början av 1600-talet, och det finns några räkneregler som förenklar vanliga multiplikations-, divisions- och potensoperationer. Det använde astronomer sig utav vid den tiden för att göra beräkningarna kortare (se denna artkel i Svenska Dagbladet: [https://www.svd.se/godsagaride-fordubblade-astronomers-liv Godsägaridé fördubblade astronomers liv]).
===Multiplikation===
Logaritmlagen som associerar multiplikation med addition lyder:

<math>\log_b(AB)=\log_b A +\log_b B</math>

Den troliggörs enligt följande:

<math>x = \log_b A\iff A = b^x</math>

<math>y = \log_b B \iff B = b^y</math>

<math>A\cdot B=b^x\cdot b^y=b^{x+y}</math>

<math>\log_b(AB)=x+y=\log_bA+\log_bB</math>

===Division===
Under uppbyggnad

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>
===Potenser===
Under uppbyggnad

<math>\log a^b=b\log a</math>

==Värdet på basen av den naturliga logaritm==
===Metod 1, via serieutveckling===
Ansätt <math>y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math>

Logaritmering av respektive led ger:

<math>\ln y=x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)</math>

Enligt [[taylorutveckling|taylorutveckling]] av <math>\ln(1+a)</math> så gäller

<math>\ln(1+a)=a-\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{3}-\frac{a^4}{4}+...</math>

För värden på <math>a</math> nära noll gäller enligt detta att <math>\ln(1+a)\approx a</math> (ju närmare noll, desto bättre approximation), varför

<math>\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\approx\frac{1}{x}</math> för stora värden på <math>x</math>.

Således gäller att <math>\ln y \approx x\cdot \frac{1}{x}</math> för stora värden på <math>x</math>.

Antilogaritmering ger direkt att <math>y\approx e</math> med gränsvärdet

<math>e=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math> enligt ansättningen av <math>y</math> ovan.

===Metod 2, via [[l'Hôpital's regel]] för gränsvärdesberäkning===
Ansätt <math>y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math> och logaritmera:

<math>\ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\displaystyle\lim_{x\to \infty}x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)</math>, som kan skrivas om till

<math>\ln y = \displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x^{-1}}</math>

Det ser inte så roligt ut, men det syns att såväl täljare och nämnare i uttrycket går mot noll när <math>x</math> ökar obegränsat. Enligt [[l'Hôpital's regel]] gäller då att gränsvärdet för uttrycket blir detsamma som gränsvärdet då täljare och nämnare deriveras:

<math>\ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)\cdot\left(0-x^{-2} \right)}{-x^{-2}}=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)=1</math>

Eftersom <math>\ln y=1</math> gäller att <math>y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e</math>.

Några matematiska härledningar och bevis

2019-06-02T15:12:13Z

Nikodemus: /* Multiplikaton */

==Logaritmlagarna==
===Multiplikaton===
Logaritmlagen som associerar multiplikation med addition lyder:

<math>\log_b(AB)=\log_b(A)+\log_b(B)</math>

Den troliggörs enligt följande:

<math>\log_b A = x \iff A = b^x</math>

<math>\log_b B = y \iff B = b^y</math>

<math>A\cdot B=b^x\cdot b^y=b^{x+y}</math>

<math>\log_b(AB)=x+y=\log_bA+\log_bB</math>

===Division===
Under uppbyggnad

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>
===Potenser===
Under uppbyggnad

<math>\log a^b=b\log a</math>

==Värdet på basen av den naturliga logaritm==
===Metod 1, via serieutveckling===
Ansätt <math>y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math>

Logaritmering av respektive led ger:

<math>\ln y=x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)</math>

Enligt [[taylorutveckling|taylorutveckling]] av <math>\ln(1+a)</math> så gäller

<math>\ln(1+a)=a-\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{3}-\frac{a^4}{4}+...</math>

För värden på <math>a</math> nära noll gäller enligt detta att <math>\ln(1+a)\approx a</math> (ju närmare noll, desto bättre approximation), varför

<math>\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\approx\frac{1}{x}</math> för stora värden på <math>x</math>.

Således gäller att <math>\ln y \approx x\cdot \frac{1}{x}</math> för stora värden på <math>x</math>.

Antilogaritmering ger direkt att <math>y\approx e</math> med gränsvärdet

<math>e=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math> enligt ansättningen av <math>y</math> ovan.

===Metod 2, via [[l'Hôpital's regel]] för gränsvärdesberäkning===
Ansätt <math>y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math> och logaritmera:

<math>\ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\displaystyle\lim_{x\to \infty}x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)</math>, som kan skrivas om till

<math>\ln y = \displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x^{-1}}</math>

Det ser inte så roligt ut, men det syns att såväl täljare och nämnare i uttrycket går mot noll när <math>x</math> ökar obegränsat. Enligt [[l'Hôpital's regel]] gäller då att gränsvärdet för uttrycket blir detsamma som gränsvärdet då täljare och nämnare deriveras:

<math>\ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)\cdot\left(0-x^{-2} \right)}{-x^{-2}}=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)=1</math>

Eftersom <math>\ln y=1</math> gäller att <math>y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e</math>.

Huvudsida

2019-06-02T14:00:18Z

Nikodemus:

Talet e och dess logaritm

2019-06-02T13:52:57Z

Nikodemus: /* Representationer */

==Talet <math>e</math>==
Talet <math>e</math> används ofta som bas i [[exponentialfunktion|exponentialfunktioner]]. En orsak till detta är att funktionen då blir lätt att derivera och integrera.

===Representationer===
Då talet <math>e</math> utgör basen i en exponentialfunktion, <math>f(x)=e^x</math>, ger det funktionen egenskapen att dess derivata är lika med funktionsvärdet i deriveringspunkten.

Talet <math>e</math> kan uttryckas som ett gränsvärde enligt (se [[Några_matematiska_härledningar_och_bevis#Värdet på basen av den naturliga logaritm|denna sida för detaljer]])

<math>\displaystyle\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>

eller som en oändlig serie enligt

<math>\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+...</math>

Talet kan uttryckas på [https://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)#Representations flera andra sätt].

Några matematiska härledningar och bevis

2019-06-02T13:42:08Z

Nikodemus: /* Metod 2, via l'Hôpital's regel för gränsvärdesberäkning */

==Logaritmlagarna==
===Multiplikaton===
Under uppbyggnad.

<math>\log(ab)=\log(a)+\log(b)</math>
===Division===
Under uppbyggnad

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>
===Potenser===
Under uppbyggnad

<math>\log a^b=b\log a</math>

==Värdet på basen av den naturliga logaritm==
===Metod 1, via serieutveckling===
Ansätt <math>y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math>

Logaritmering av respektive led ger:

<math>\ln y=x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)</math>

Enligt [[taylorutveckling|taylorutveckling]] av <math>\ln(1+a)</math> så gäller

<math>\ln(1+a)=a-\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{3}-\frac{a^4}{4}+...</math>

För värden på <math>a</math> nära noll gäller enligt detta att <math>\ln(1+a)\approx a</math> (ju närmare noll, desto bättre approximation), varför

<math>\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\approx\frac{1}{x}</math> för stora värden på <math>x</math>.

Således gäller att <math>\ln y \approx x\cdot \frac{1}{x}</math> för stora värden på <math>x</math>.

Antilogaritmering ger direkt att <math>y\approx e</math> med gränsvärdet

<math>e=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math> enligt ansättningen av <math>y</math> ovan.

===Metod 2, via [[l'Hôpital's regel]] för gränsvärdesberäkning===
Ansätt <math>y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math> och logaritmera:

<math>\ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\displaystyle\lim_{x\to \infty}x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)</math>, som kan skrivas om till

<math>\ln y = \displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x^{-1}}</math>

Det ser inte så roligt ut, men det syns att såväl täljare och nämnare i uttrycket går mot noll när <math>x</math> ökar obegränsat. Enligt [[l'Hôpital's regel]] gäller då att gränsvärdet för uttrycket blir detsamma som gränsvärdet då täljare och nämnare deriveras:

<math>\ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)\cdot\left(0-x^{-2} \right)}{-x^{-2}}=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)=1</math>

Eftersom <math>\ln y=1</math> gäller att <math>y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e</math>.

Några matematiska härledningar och bevis

2019-06-02T13:37:11Z

Nikodemus: /* Metod 2, via l'Hôpital's regel för gränsvärdesberäkning */

Några matematiska härledningar och bevis

2019-06-02T13:25:54Z

Nikodemus: /* Metod 2, via l'Hôpital's regel för gränsvärdesberäkning */

Några matematiska härledningar och bevis

2019-06-02T13:18:54Z

Nikodemus:

Några matematiska härledningar och bevis

2019-06-02T07:55:11Z

Nikodemus: Skapade sidan med '==Logaritmlagarna== ===Multiplikaton=== Under uppbyggnad. <math>\log(ab)=\log(a)+\log(b)</math> ===Division=== Under uppbyggnad <math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\l...'

Stående våg

2019-06-01T17:27:02Z

Nikodemus: /* Bukar på stående vågor */

==Vad en stående våg är==
Då två vågor möter varandra, på t ex en sträng, så ges den resulterande vågen som summan av de de båda vågornas utslag. Detta kallas för [[superpositionsprincipen]]. Under vissa sådana förhållanden skapas en stående våg. Det gäller när de båda vågornas våglängder är lika stora och då ett helt antal halva våglängder får plats på strängen. För stående vågor på en sträng gäller ofta att det är en [[reflexion|reflekterad]] våg som [[interferens|interfererar]] med den inkommande vågen.

===Utseende===
Beroende på ordningstalet på den stående vågen kommer den att ha olika antal bukar och noder, nedan visas stående vågor med ordningstalen 1 - 6. Våglängden beror på frekvensen vilket syns i bildsviten nedan; ju fler [[stående våg#Noder på stående vågor|noder]] på strängen, desto kortare våglängd och desto högre frekvens.

[[File:Standing_waves_on_a_string_animation.gif|frame|Stående vågor med ordningstalen 1 - 6.]]

===Kriterier för stående våg===
Om strängens längd är <math>L</math> och våglängden är <math>\lambda</math> så gäller att <math>L=n\cdot\frac{\lambda}{2}</math> för att en stående våg ska bildas. <math>n</math> är ordningstalet på den stående vågen, och olika värden på <math>n</math> ger olika antal [[stående våg#Noder på stående vågor|noder]] på den stående vågen.

Stående vågor kan inte enbart bildas på en sträng. De kan även bildas t ex i vatten, på membran och i akustiska musikinstrument (då är det frågan om [[ljudvåg|ljudvåg]]). Även [[atom|atomer]] kan beskrivas matematiskt på ett sätt som inkluderar stående vågor.

[https://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave Länk till Wikipedias sida om stående vågor]

[https://www.desmos.com/calculator/ndrx4f8kef Länk till interaktion i Desmos]

[[Category:Mekanisk vågrörelse]]
__FORCETOC__

==Bukar på stående vågor==
En buk, eller antinod, är en punkt på en stående våg där den ena vågens elongation maximalt förstärks av den mötande vågens elongation. Det resulterar i att punkten har en maximal amplitud. En buk återfinns mitt emellan två noder på en stående våg.

==Noder på stående vågor==
En nod är ett punkt på en stående våg där den ena vågens elongation släcks ut av den mötande vågens motsatta elongation, vilket resulterar i att punkten förblir orörlig.

Stående våg

2019-06-01T17:22:34Z

Nikodemus: /* Noder på stående vågor */

==Vad en stående våg är==
Då två vågor möter varandra, på t ex en sträng, så ges den resulterande vågen som summan av de de båda vågornas utslag. Detta kallas för [[superpositionsprincipen]]. Under vissa sådana förhållanden skapas en stående våg. Det gäller när de båda vågornas våglängder är lika stora och då ett helt antal halva våglängder får plats på strängen. För stående vågor på en sträng gäller ofta att det är en [[reflexion|reflekterad]] våg som [[interferens|interfererar]] med den inkommande vågen.

===Utseende===
Beroende på ordningstalet på den stående vågen kommer den att ha olika antal bukar och noder, nedan visas stående vågor med ordningstalen 1 - 6. Våglängden beror på frekvensen vilket syns i bildsviten nedan; ju fler [[stående våg#Noder på stående vågor|noder]] på strängen, desto kortare våglängd och desto högre frekvens.

[[File:Standing_waves_on_a_string_animation.gif|frame|Stående vågor med ordningstalen 1 - 6.]]

===Kriterier för stående våg===
Om strängens längd är <math>L</math> och våglängden är <math>\lambda</math> så gäller att <math>L=n\cdot\frac{\lambda}{2}</math> för att en stående våg ska bildas. <math>n</math> är ordningstalet på den stående vågen, och olika värden på <math>n</math> ger olika antal [[stående våg#Noder på stående vågor|noder]] på den stående vågen.

Stående vågor kan inte enbart bildas på en sträng. De kan även bildas t ex i vatten, på membran och i akustiska musikinstrument (då är det frågan om [[ljudvåg|ljudvåg]]). Även [[atom|atomer]] kan beskrivas matematiskt på ett sätt som inkluderar stående vågor.

[https://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave Länk till Wikipedias sida om stående vågor]

[https://www.desmos.com/calculator/ndrx4f8kef Länk till interaktion i Desmos]

[[Category:Mekanisk vågrörelse]]
__FORCETOC__

==Bukar på stående vågor==
Beskrivning av buk
==Noder på stående vågor==
En nod är ett punkt på en stående våg där den ena vågens elongation släcks ut av den mötande vågens motsatta elongation, vilket resulterar i att punkten förblir orörlig.