Logaritmer och logaritmlagarna - Versionshistorik

Nikodemus: /* Idén med logaritmer */

2019-06-02T17:01:13Z

Idén med logaritmer

← Äldre version		Versionen från 2 juni 2019 kl. 18.01
Rad 10:		Rad 10:
	<math>x=\log_{b}A\iff b^x=A</math>		<math>x=\log_{b}A\iff b^x=A</math>

	Idén med ~~Logaritmer~~ härrör från början av 1600-talet, och det finns några räkneregler som förenklar vanliga multiplikations-, divisions- och potensoperationer. Det använde astronomer sig utav vid den tiden för att göra beräkningarna kortare (se denna artkel i Svenska Dagbladet: [https://www.svd.se/godsagaride-fordubblade-astronomers-liv Godsägaridé fördubblade astronomers liv]). Idag används logaritmer som mått vid t ex angivandet av ljudstyrka ([[decibel\|decibelskalan]] är logaritmisk) och av jordbävningars magnitud ([[richterskalan\|Richterskalan]] är logaritmisk).		Idén med logaritmer härrör från början av 1600-talet, och det finns några räkneregler som förenklar vanliga multiplikations-, divisions- och potensoperationer. Det använde astronomer sig utav vid den tiden för att göra beräkningarna kortare (se denna artkel i Svenska Dagbladet: [https://www.svd.se/godsagaride-fordubblade-astronomers-liv Godsägaridé fördubblade astronomers liv]). Idag används logaritmer som mått vid t ex angivandet av ljudstyrka ([[decibel\|decibelskalan]] är logaritmisk) och av jordbävningars magnitud ([[richterskalan\|Richterskalan]] är logaritmisk).

	===Logaritm av en produkt===		===Logaritm av en produkt===

Nikodemus: /* Idén med logaritmer */

2019-06-02T17:00:53Z

Idén med logaritmer

← Äldre version		Versionen från 2 juni 2019 kl. 18.00
Rad 10:		Rad 10:
	<math>x=\log_{b}A\iff b^x=A</math>		<math>x=\log_{b}A\iff b^x=A</math>

	~~Logaritmerna~~ härrör från början av 1600-talet, och det finns några räkneregler som förenklar vanliga multiplikations-, divisions- och potensoperationer. Det använde astronomer sig utav vid den tiden för att göra beräkningarna kortare (se denna artkel i Svenska Dagbladet: [https://www.svd.se/godsagaride-fordubblade-astronomers-liv Godsägaridé fördubblade astronomers liv]). Idag används logaritmer som mått vid t ex angivandet av ljudstyrka ([[decibel\|decibelskalan]] är logaritmisk) och av jordbävningars magnitud ([[richterskalan\|Richterskalan]] är logaritmisk).		Idén med Logaritmer härrör från början av 1600-talet, och det finns några räkneregler som förenklar vanliga multiplikations-, divisions- och potensoperationer. Det använde astronomer sig utav vid den tiden för att göra beräkningarna kortare (se denna artkel i Svenska Dagbladet: [https://www.svd.se/godsagaride-fordubblade-astronomers-liv Godsägaridé fördubblade astronomers liv]). Idag används logaritmer som mått vid t ex angivandet av ljudstyrka ([[decibel\|decibelskalan]] är logaritmisk) och av jordbävningars magnitud ([[richterskalan\|Richterskalan]] är logaritmisk).

	===Logaritm av en produkt===		===Logaritm av en produkt===

Nikodemus: Skapade sidan med '==Idén med logaritmer== Om vi, till en början, utgår från logaritmbasen 10 så innebär logaritmen $x$ för ett tal $A$ det tal som 10 ska höjas upp...'

2019-06-02T17:00:12Z

Skapade sidan med '==Idén med logaritmer== Om vi, till en början, utgår från logaritmbasen 10 så innebär logaritmen <math>x</math> för ett tal <math>A</math> det tal som 10 ska höjas upp...'

Ny sida

==Idén med logaritmer==
Om vi, till en början, utgår från logaritmbasen 10 så innebär logaritmen <math>x</math> för ett tal <math>A</math> det tal som 10 ska höjas upp med för att få talet <math>A</math>. Eller enklare uttryckt:

<math>x=\log_{10}A\iff 10^x=A</math>

T ex gäller att <math>\log_{10}1000=3</math> därför att <math>10^3 = 1000</math> och att <math>\log_{10}0.01=-2</math> därför att <math>10^{-2}=0.01</math>

Vilken bas som används är valfri, även om de flesta miniräknare har en snabbknapp för basen 10 och för basen <math>e\approx 2.718</math>. Med en valfri logaritmbas <math>b</math> så blir definitionen på logaritm <math>x</math> för ett tal <math>A</math>

<math>x=\log_{b}A\iff b^x=A</math>

Logaritmerna härrör från början av 1600-talet, och det finns några räkneregler som förenklar vanliga multiplikations-, divisions- och potensoperationer. Det använde astronomer sig utav vid den tiden för att göra beräkningarna kortare (se denna artkel i Svenska Dagbladet: [https://www.svd.se/godsagaride-fordubblade-astronomers-liv Godsägaridé fördubblade astronomers liv]). Idag används logaritmer som mått vid t ex angivandet av ljudstyrka ([[decibel|decibelskalan]] är logaritmisk) och av jordbävningars magnitud ([[richterskalan|Richterskalan]] är logaritmisk).

===Logaritm av en produkt===
Logaritmlagen som associerar multiplikation med addition lyder:

<math>\log_b(AB)=\log_b A +\log_b B</math>

Den troliggörs enligt följande:

<math>x = \log_b A\iff A = b^x</math>

<math>y = \log_b B \iff B = b^y</math>

<math>A\cdot B=b^x\cdot b^y=b^{x+y}</math>

<math>\log_b(AB)=x+y=\log_bA+\log_bB</math>

===Logaritm av en kvot===
Logaritmlagen som associerar division med subtraktion lyder:

<math>\log_b\left(\frac{A}{B}\right)=\log_b A-\log_b B</math>

Den troliggörs enligt följande:

<math>x=\log_b A\iff A=b^x</math>

<math>y=\log_b B\iff B=b^y</math>

<math>\frac{A}{B}=\frac{b^x}{b^y}=b^{x-y}</math>

<math>\log_b\left(\frac{A}{B} \right)=x-y=\log_b A - \log_b B</math>

===Logaritm av en potens===
Logaritmlagen som associerar en exponent med multiplikation lyder:

<math>\log_b A^B=B\log A</math>

Den troliggörs enligt följande:

<math>x=\log_b A^B\iff A^B = b^x</math>

<math>y=\log_b A\iff A = b^y</math>

<math>A^B = \left(b^y \right)^B = b^{By}</math>

<math>\log_b A^B = By = B\log_b A</math>

Logaritmer och logaritmlagarna - Versionshistorik

Nikodemus: /* Idén med logaritmer */

Nikodemus: /* Idén med logaritmer */

Nikodemus: Skapade sidan med '==Idén med logaritmer== Om vi, till en början, utgår från logaritmbasen 10 så innebär logaritmen x för ett tal A det tal som 10 ska höjas upp...'

Nikodemus: Skapade sidan med '==Idén med logaritmer== Om vi, till en början, utgår från logaritmbasen 10 så innebär logaritmen $x$ för ett tal $A$ det tal som 10 ska höjas upp...'