Några matematiska härledningar och bevis - Versionshistorik

Nikodemus: /* Metod 2, via l'Hôpital's regel för gränsvärdesberäkning */

2019-06-02T17:50:27Z

Metod 2, via l'Hôpital's regel för gränsvärdesberäkning

← Äldre version		Versionen från 2 juni 2019 kl. 18.50
Rad 30:		Rad 30:
	<math>\ln y = \displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x^{-1}}</math>		<math>\ln y = \displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x^{-1}}</math>

	~~Det ser inte så roligt ut, men det~~ syns att såväl täljare och nämnare i uttrycket går mot noll när <math>x</math> ökar obegränsat. Enligt [[l'Hôpital's regel]] gäller då att gränsvärdet för uttrycket blir detsamma som gränsvärdet då täljare och nämnare deriveras:		Här syns att såväl täljare och nämnare i uttrycket går mot noll när <math>x</math> ökar obegränsat. Enligt [[l'Hôpital's regel]] gäller då att gränsvärdet för uttrycket blir detsamma som gränsvärdet då täljare och nämnare deriveras:

	<math>\ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)\cdot\left(0-x^{-2} \right)}{-x^{-2}}=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)=1</math>		<math>\ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)\cdot\left(0-x^{-2} \right)}{-x^{-2}}=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)=1</math>

	Eftersom <math>\ln y=1</math> gäller att <math>y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e</math>.		Eftersom <math>\ln y=1</math> gäller att <math>y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e</math>.

Nikodemus: /* Metod 2, via l'Hôpital's regel för gränsvärdesberäkning */

2019-06-02T17:49:37Z

Metod 2, via l'Hôpital's regel för gränsvärdesberäkning

← Äldre version		Versionen från 2 juni 2019 kl. 18.49
Rad 28:		Rad 28:
	<math>\ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\displaystyle\lim_{x\to \infty}x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)</math>, som kan skrivas om till		<math>\ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\displaystyle\lim_{x\to \infty}x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)</math>, som kan skrivas om till

	<math>\ln y = \displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x^{-1}}</math>		<math>\ln y = \displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x^{-1}}</math>

	Det ser inte så roligt ut, men det syns att såväl täljare och nämnare i uttrycket går mot noll när <math>x</math> ökar obegränsat. Enligt [[l'Hôpital's regel]] gäller då att gränsvärdet för uttrycket blir detsamma som gränsvärdet då täljare och nämnare deriveras:		Det ser inte så roligt ut, men det syns att såväl täljare och nämnare i uttrycket går mot noll när <math>x</math> ökar obegränsat. Enligt [[l'Hôpital's regel]] gäller då att gränsvärdet för uttrycket blir detsamma som gränsvärdet då täljare och nämnare deriveras:

Nikodemus: /* Metod 1, via serieutveckling */

2019-06-02T17:26:31Z

Metod 1, via serieutveckling

← Äldre version		Versionen från 2 juni 2019 kl. 18.26
Rad 20:		Rad 20:

	<math>e=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math> enligt ansättningen av <math>y</math> ovan.		<math>e=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math> enligt ansättningen av <math>y</math> ovan.

			----

	===Metod 2, via [[l'Hôpital's regel]] för gränsvärdesberäkning===		===Metod 2, via [[l'Hôpital's regel]] för gränsvärdesberäkning===

Nikodemus den 2 juni 2019 kl. 17.05

2019-06-02T17:05:21Z

← Äldre version		Versionen från 2 juni 2019 kl. 18.05
Rad 1:		Rad 1:
	~~==Logaritmer och logaritmlagarna==~~
	Om vi, till en början, utgår från logaritmbasen 10 så innebär logaritmen <math>x</math> för ett tal <math>A</math> det tal som 10 ska höjas upp med för att få talet <math>A</math>. Eller enklare uttryckt:

	~~<math>x=\log_{10}A\iff 10^x=A</math>~~

	~~T ex gäller att <math>\log_{10}1000=3</math> därför att <math>10^3 = 1000</math> och att <math>\log_{10}0.01=-2</math> därför att <math>10^{-2}=0.01</math>~~

	Vilken bas som används är valfri, även om de flesta miniräknare har en snabbknapp för basen 10 och för basen <math>e\approx 2.718</math>. Med en valfri logaritmbas <math>b</math> så blir definitionen på logaritm <math>x</math> för ett tal <math>A</math>

	~~<math>x=\log_{b}A\iff b^x=A</math>~~

	Logaritmerna härrör från början av 1600-talet, och det finns några räkneregler som förenklar vanliga multiplikations-, divisions- och potensoperationer. Det använde astronomer sig utav vid den tiden för att göra beräkningarna kortare (se denna artkel i Svenska Dagbladet: [https://www.svd.se/godsagaride-fordubblade-astronomers-liv Godsägaridé fördubblade astronomers liv]).
	~~===Multiplikation===~~
	~~Logaritmlagen som associerar multiplikation med addition lyder:~~

	~~<math>\log_b(AB)=\log_b A +\log_b B</math>~~

	~~Den troliggörs enligt följande:~~

	~~<math>x = \log_b A\iff A = b^x</math>~~

	~~<math>y = \log_b B \iff B = b^y</math>~~

	~~<math>A\cdot B=b^x\cdot b^y=b^{x+y}</math>~~

	~~<math>\log_b(AB)=x+y=\log_bA+\log_bB</math>~~

	~~===Division===~~
	~~Under uppbyggnad~~

	~~<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>~~
	~~===Potenser===~~
	~~Under uppbyggnad~~

	~~<math>\log a^b=b\log a</math>~~

	==Värdet på basen av den naturliga logaritm==		==Värdet på basen av den naturliga logaritm==
	===Metod 1, via serieutveckling===		===Metod 1, via serieutveckling===

Nikodemus: /* Logaritmlagarna */

2019-06-02T15:56:13Z

Logaritmlagarna

← Äldre version		Versionen från 2 juni 2019 kl. 16.56
Rad 1:		Rad 1:
	==~~Logaritmlagarna~~==		==Logaritmer och logaritmlagarna==
	===~~Multiplikaton~~===		Om vi, till en början, utgår från logaritmbasen 10 så innebär logaritmen <math>x</math> för ett tal <math>A</math> det tal som 10 ska höjas upp med för att få talet <math>A</math>. Eller enklare uttryckt:

			<math>x=\log_{10}A\iff 10^x=A</math>

			T ex gäller att <math>\log_{10}1000=3</math> därför att <math>10^3 = 1000</math> och att <math>\log_{10}0.01=-2</math> därför att <math>10^{-2}=0.01</math>

			Vilken bas som används är valfri, även om de flesta miniräknare har en snabbknapp för basen 10 och för basen <math>e\approx 2.718</math>. Med en valfri logaritmbas <math>b</math> så blir definitionen på logaritm <math>x</math> för ett tal <math>A</math>

			<math>x=\log_{b}A\iff b^x=A</math>

			Logaritmerna härrör från början av 1600-talet, och det finns några räkneregler som förenklar vanliga multiplikations-, divisions- och potensoperationer. Det använde astronomer sig utav vid den tiden för att göra beräkningarna kortare (se denna artkel i Svenska Dagbladet: [https://www.svd.se/godsagaride-fordubblade-astronomers-liv Godsägaridé fördubblade astronomers liv]).
			===Multiplikation===
	Logaritmlagen som associerar multiplikation med addition lyder:		Logaritmlagen som associerar multiplikation med addition lyder:

	<math>\log_b(AB)=\log_b(A)+\log_b(B)</math>		<math>\log_b(AB)=\log_b A +\log_b B</math>

	Den troliggörs enligt följande:		Den troliggörs enligt följande:

	<math>\log_b A ~~= x~~ \iff A = b^x</math>		<math>x = \log_b A\iff A = b^x</math>

	<math>\log_b B ~~= y~~ \iff B = b^y</math>		<math>y = \log_b B \iff B = b^y</math>

	<math>A\cdot B=b^x\cdot b^y=b^{x+y}</math>		<math>A\cdot B=b^x\cdot b^y=b^{x+y}</math>

Nikodemus: /* Multiplikaton */

2019-06-02T15:12:13Z

Multiplikaton

← Äldre version		Versionen från 2 juni 2019 kl. 16.12
Rad 1:		Rad 1:
	==Logaritmlagarna==		==Logaritmlagarna==
	===Multiplikaton===		===Multiplikaton===
	~~Under uppbyggnad.~~		Logaritmlagen som associerar multiplikation med addition lyder:

			<math>\log_b(AB)=\log_b(A)+\log_b(B)</math>

			Den troliggörs enligt följande:

			<math>\log_b A = x \iff A = b^x</math>

			<math>\log_b B = y \iff B = b^y</math>

			<math>A\cdot B=b^x\cdot b^y=b^{x+y}</math>

			<math>\log_b(AB)=x+y=\log_bA+\log_bB</math>

	~~<math>\log(ab)=\log(a)+\log(b)</math>~~
	===Division===		===Division===
	Under uppbyggnad		Under uppbyggnad

Nikodemus: /* Metod 2, via l'Hôpital's regel för gränsvärdesberäkning */

2019-06-02T13:42:08Z

Metod 2, via l'Hôpital's regel för gränsvärdesberäkning

← Äldre version		Versionen från 2 juni 2019 kl. 14.42
Rad 45:		Rad 45:

	<math>\ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)\cdot\left(0-x^{-2} \right)}{-x^{-2}}=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)=1</math>		<math>\ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)\cdot\left(0-x^{-2} \right)}{-x^{-2}}=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)=1</math>

			Eftersom <math>\ln y=1</math> gäller att <math>y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e</math>.

Nikodemus: /* Metod 2, via l'Hôpital's regel för gränsvärdesberäkning */

2019-06-02T13:37:11Z

Metod 2, via l'Hôpital's regel för gränsvärdesberäkning

← Äldre version		Versionen från 2 juni 2019 kl. 14.37
Rad 44:		Rad 44:
	Det ser inte så roligt ut, men det syns att såväl täljare och nämnare i uttrycket går mot noll när <math>x</math> ökar obegränsat. Enligt [[l'Hôpital's regel]] gäller då att gränsvärdet för uttrycket blir detsamma som gränsvärdet då täljare och nämnare deriveras:		Det ser inte så roligt ut, men det syns att såväl täljare och nämnare i uttrycket går mot noll när <math>x</math> ökar obegränsat. Enligt [[l'Hôpital's regel]] gäller då att gränsvärdet för uttrycket blir detsamma som gränsvärdet då täljare och nämnare deriveras:

	<math>\ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)\cdot\left(0-x^{-2} \right)}{-x^{-2}}</math>		<math>\ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)\cdot\left(0-x^{-2} \right)}{-x^{-2}}=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)=1</math>

Nikodemus: /* Metod 2, via l'Hôpital's regel för gränsvärdesberäkning */

2019-06-02T13:25:54Z

Metod 2, via l'Hôpital's regel för gränsvärdesberäkning

← Äldre version		Versionen från 2 juni 2019 kl. 14.25
Rad 44:		Rad 44:
	Det ser inte så roligt ut, men det syns att såväl täljare och nämnare i uttrycket går mot noll när <math>x</math> ökar obegränsat. Enligt [[l'Hôpital's regel]] gäller då att gränsvärdet för uttrycket blir detsamma som gränsvärdet då täljare och nämnare deriveras:		Det ser inte så roligt ut, men det syns att såväl täljare och nämnare i uttrycket går mot noll när <math>x</math> ökar obegränsat. Enligt [[l'Hôpital's regel]] gäller då att gränsvärdet för uttrycket blir detsamma som gränsvärdet då täljare och nämnare deriveras:

	<math>\ln y=</math>		<math>\ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)\cdot\left(0-x^{-2} \right)}{-x^{-2}}</math>

Nikodemus den 2 juni 2019 kl. 13.18

2019-06-02T13:18:54Z

← Äldre version		Versionen från 2 juni 2019 kl. 14.18
Rad 36:		Rad 36:

	===Metod 2, via [[l'Hôpital's regel]] för gränsvärdesberäkning===		===Metod 2, via [[l'Hôpital's regel]] för gränsvärdesberäkning===
			Ansätt <math>y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math> och logaritmera:

			<math>\ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\displaystyle\lim_{x\to \infty}x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)</math>, som kan skrivas om till

			<math>\ln y = \displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x^{-1}}</math>

			Det ser inte så roligt ut, men det syns att såväl täljare och nämnare i uttrycket går mot noll när <math>x</math> ökar obegränsat. Enligt [[l'Hôpital's regel]] gäller då att gränsvärdet för uttrycket blir detsamma som gränsvärdet då täljare och nämnare deriveras:

			<math>\ln y=</math>