Harmonisk svängning: Skillnad mellan sidversioner
Från MaFy
Ingen redigeringssammanfattning |
Ingen redigeringssammanfattning |
||
| (En mellanliggande sidversion av samma användare visas inte) | |||
| Rad 26: | Rad 26: | ||
<math>\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{k}{m}x=0</math>, | <math>\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{k}{m}x=0</math>, | ||
som | som har lösningarna | ||
<math>x(t)=C_1\cos{\sqrt{\frac{k}{m}}t} + C_2\sin{\sqrt{\frac{k}{m}}t}</math> | <math>x(t)=C_1\cos{\sqrt{\frac{k}{m}}t} + C_2\sin{\sqrt{\frac{k}{m}}t}</math> | ||
Om vi låter pendeln vara i jämviktsläget vid tiden <math>t=0</math> så erhålls lägesbeskrivningen som <math>x(0)=0\Rightarrow x(t)=C_2\sin{\sqrt{\frac{k}{m}}t}</math>. Vändläget nås då vid tiden <math>t=\frac{T}{4}</math>, där är hastigheten noll och läget är amplituden <math>A</math> (maximalt avstånd från jämviktsläget). Det ger <math>\frac{dx}{dt}\ | Om vi låter pendeln vara i jämviktsläget vid tiden <math>t=0</math> så erhålls lägesbeskrivningen som <math>x(0)=0\Rightarrow x(t)=C_2\sin{\sqrt{\frac{k}{m}}t}</math>. Vändläget nås då vid tiden <math>t=\frac{T}{4}</math>, där är hastigheten noll och läget är amplituden <math>A</math> (maximalt avstånd från jämviktsläget). Det ger <math>\frac{dx}{dt}\left\vert_{t=\frac{T}{4}}\right .=0\Rightarrow C_2=A</math>. | ||
Då | Då erhålls det välkända sambandet mellan läge och tid för en massa som svänger runt ett jämviktsläge i en harmonisk svängning: <math>x(t)=A\sin\sqrt{\frac{k}{m}}t</math> | ||
Eftersom faktorn <math>\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{2\pi}{T}</math>, så gäller att <math>T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}</math>. | Eftersom faktorn <math>\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{2\pi}{T}</math>, så gäller att <math>T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}</math>. | ||
Nuvarande version från 3 juli 2022 kl. 20.34
Laborationer
| Resurs | Kommentar |
|---|---|
| Laboration - Undersök en fjäderpendel | Den sista uppgiften i dokumentet, uppgift 8, refererar till läroboken Ergo 2. Laborationen är ganska omfattande, möjligen kan man ge fjäderkonstanterna från början. Syftet med laborationen är att eleven experimentellt ska komma fram till formeln för periodtiden i en harmonisk svängning. |
| Laboration - Tröghetsvåg | Någorlunda kort laboration som går ut på att eleven med hjälp av befintlig formel för harmonisk svängning samt en vikt med känd massa ska bestämma massan på en okänd vikt. |
Övningsuppgifter
| Resurs | Kommentar |
|---|---|
| Övningsuppgifter | Några lite mer utmanande övningsuppgifter. |
Fördjupning
Det är viktigt att eleverna är bekanta med Hookes lag, . Eftersom vidare gäller
,
som har lösningarna
Om vi låter pendeln vara i jämviktsläget vid tiden så erhålls lägesbeskrivningen som . Vändläget nås då vid tiden , där är hastigheten noll och läget är amplituden (maximalt avstånd från jämviktsläget). Det ger .
Då erhålls det välkända sambandet mellan läge och tid för en massa som svänger runt ett jämviktsläge i en harmonisk svängning:
Eftersom faktorn , så gäller att .
