Några matematiska härledningar och bevis

Logaritmlagarna

Multiplikaton

Under uppbyggnad.

$\log(ab)=\log(a)+\log(b)$

Division

Under uppbyggnad

$\log \left({\frac {a}{b}}\right)=\log(a)-\log(b)$

Potenser

Under uppbyggnad

$\log a^{b}=b\log a$

Värdet på basen av den naturliga logaritm

Metod 1, via serieutveckling

Ansätt $y=\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$

Logaritmering av respektive led ger:

$\ln y=x\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)$

Enligt taylorutveckling av $\ln(1+a)$ så gäller

$\ln(1+a)=a-{\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {a^{3}}{3}}-{\frac {a^{4}}{4}}+...$

För värden på $a$ nära noll gäller enligt detta att $\ln(1+a)\approx a$ (ju närmare noll, desto bättre approximation), varför

$\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)\approx {\frac {1}{x}}$ för stora värden på $x$.

Således gäller att $\ln y\approx x\cdot {\frac {1}{x}}$ för stora värden på $x$.

Antilogaritmering ger direkt att $y\approx e$ med gränsvärdet

$e=\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$ enligt ansättningen av $y$ ovan.