Integralkalkylens fundamentalsats

Integralkalkylens fundamentalsats ger sambandet mellan derivata och integral, alltså sambandet mellan lutningen på en kurva och arean under densamma.

Figur 1: Arean $F(x)$ under funktionsgrafen $y=f(t)$

Satsen består av två delar. Dels delen som anger sambandet mellan integral och primitiv funktion:

Del 1: $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\iff {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)$

Och dels delen som anger hur en integrals värde ska evalueras med hjälp av den primitiva funktionen:

Del 2: $I=\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

Troliggörande av Del 1

Mellan funktionsgrafen $y=f(t)$ och $t-$axeln finns ett område med en area, se Figur 1 ovan. Om begränsningslinjen $t=x$ flyttas åt höger en liten bit (den vänstra begränsningen ligger kvar) kommer arean att förändras med en viss förändringshastighet under förflyttningen. Det den första delsatsen säger är att areans förändringshastighet är samma som funktionsvärdet $f(x)$.

Detta kan strikt bevisas, och görs så t ex på denna sida på Wikipedia. Här tänker jag istället troliggöra satsen med tre exempel.

Exempel 1

$f(t)=2t$

Exempel 2

$f(t)=t^{3}$

Exempel 3

$f(t)=t^{2}\cdot 3^{t}$

Troliggörande av Del 2

Den andra delen av integralkalkylens fundamentalsats säger oss som sagt hur integraler ska evalueras med hjälp av primitiva funktion och integrationsgränser.