Logaritmer och logaritmlagarna

Idén med logaritmer

Om vi, till en början, utgår från logaritmbasen 10 så innebär logaritmen $x$ för ett tal $A$ det tal som 10 ska höjas upp med för att få talet $A$. Eller enklare uttryckt:

$x=\log _{10}A\iff 10^{x}=A$

T ex gäller att $\log _{10}1000=3$ därför att $10^{3}=1000$ och att $\log _{10}0.01=-2$ därför att $10^{-2}=0.01$

Vilken bas som används är valfri, även om de flesta miniräknare har en snabbknapp för basen 10 och för basen $e\approx 2.718$. Med en valfri logaritmbas $b$ så blir definitionen på logaritm $x$ för ett tal $A$

$x=\log _{b}A\iff b^{x}=A$

Idén med Logaritmer härrör från början av 1600-talet, och det finns några räkneregler som förenklar vanliga multiplikations-, divisions- och potensoperationer. Det använde astronomer sig utav vid den tiden för att göra beräkningarna kortare (se denna artkel i Svenska Dagbladet: Godsägaridé fördubblade astronomers liv). Idag används logaritmer som mått vid t ex angivandet av ljudstyrka (decibelskalan är logaritmisk) och av jordbävningars magnitud (Richterskalan är logaritmisk).

Logaritm av en produkt

Logaritmlagen som associerar multiplikation med addition lyder:

$\log _{b}(AB)=\log _{b}A+\log _{b}B$

Den troliggörs enligt följande:

$x=\log _{b}A\iff A=b^{x}$

$y=\log _{b}B\iff B=b^{y}$

$A\cdot B=b^{x}\cdot b^{y}=b^{x+y}$

$\log _{b}(AB)=x+y=\log _{b}A+\log _{b}B$

Logaritm av en kvot

Logaritmlagen som associerar division med subtraktion lyder:

$\log _{b}\left({\frac {A}{B}}\right)=\log _{b}A-\log _{b}B$

Den troliggörs enligt följande:

$x=\log _{b}A\iff A=b^{x}$

$y=\log _{b}B\iff B=b^{y}$

${\frac {A}{B}}={\frac {b^{x}}{b^{y}}}=b^{x-y}$

$\log _{b}\left({\frac {A}{B}}\right)=x-y=\log _{b}A-\log _{b}B$

Logaritm av en potens

Logaritmlagen som associerar en exponent med multiplikation lyder:

$\log _{b}A^{B}=B\log A$

Den troliggörs enligt följande:

$x=\log _{b}A^{B}\iff A^{B}=b^{x}$

$y=\log _{b}A\iff A=b^{y}$

$A^{B}=\left(b^{y}\right)^{B}=b^{By}$

$\log _{b}A^{B}=By=B\log _{b}A$