Några matematiska härledningar och bevis

Från MaFy

Logaritmer och logaritmlagarna

Om vi, till en början, utgår från logaritmbasen 10 så innebär logaritmen för ett tal det tal som 10 ska höjas upp med för att få talet . Eller enklare uttryckt:

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\log_{10}A\iff 10^x=A}

T ex gäller att därför att Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 10^3 = 1000} och att Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_{10}0.01=-2} därför att Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 10^{-2}=0.01}

Vilken bas som används är valfri, även om de flesta miniräknare har en snabbknapp för basen 10 och för basen Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e\approx 2.718} . Med en valfri logaritmbas Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} så blir definitionen på logaritm Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} för ett tal Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A}

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\log_{b}A\iff b^x=A}

Logaritmerna härrör från början av 1600-talet, och det finns några räkneregler som förenklar vanliga multiplikations-, divisions- och potensoperationer. Det använde astronomer sig utav vid den tiden för att göra beräkningarna kortare (se denna artkel i Svenska Dagbladet: Godsägaridé fördubblade astronomers liv).

Multiplikation

Logaritmlagen som associerar multiplikation med addition lyder:

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_b(AB)=\log_b A +\log_b B}

Den troliggörs enligt följande:

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = \log_b A\iff A = b^x}

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = \log_b B \iff B = b^y}

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\cdot B=b^x\cdot b^y=b^{x+y}}

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_b(AB)=x+y=\log_bA+\log_bB}

Division

Under uppbyggnad

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)}

Potenser

Under uppbyggnad

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log a^b=b\log a}

Värdet på basen av den naturliga logaritm

Metod 1, via serieutveckling

Ansätt Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}

Logaritmering av respektive led ger:

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln y=x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}

Enligt taylorutveckling av Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(1+a)} så gäller

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(1+a)=a-\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{3}-\frac{a^4}{4}+...}

För värden på Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} nära noll gäller enligt detta att Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(1+a)\approx a} (ju närmare noll, desto bättre approximation), varför

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\approx\frac{1}{x}} för stora värden på Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} .

Således gäller att Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln y \approx x\cdot \frac{1}{x}} för stora värden på Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} .

Antilogaritmering ger direkt att Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y\approx e} med gränsvärdet

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x} enligt ansättningen av Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} ovan.

Metod 2, via l'Hôpital's regel för gränsvärdesberäkning

Ansätt Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x} och logaritmera:

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\displaystyle\lim_{x\to \infty}x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)} , som kan skrivas om till

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln y = \displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x^{-1}}}

Det ser inte så roligt ut, men det syns att såväl täljare och nämnare i uttrycket går mot noll när Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ökar obegränsat. Enligt l'Hôpital's regel gäller då att gränsvärdet för uttrycket blir detsamma som gränsvärdet då täljare och nämnare deriveras:

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)\cdot\left(0-x^{-2} \right)}{-x^{-2}}=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)=1}

Eftersom Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln y=1} gäller att Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e} .

Hämtad från ”https://cloudheaven.se/mafy/index.php?title=Några_matematiska_härledningar_och_bevis&oldid=76”