Integralkalkylens fundamentalsats
Integralkalkylens fundamentalsats ger sambandet mellan derivata och integral, alltså sambandet mellan lutningen på en kurva och arean under densamma.
Satsen består av två delar. Dels delen som anger sambandet mellan integral och primitiv funktion:
Del 1: Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt\iff \frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)}
Och dels delen som anger hur en integrals värde ska evalueras med hjälp av den primitiva funktionen:
Del 2: Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I=\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}
Troliggörande av Del 1
Mellan funktionsgrafen Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=f(t)} och Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t-} axeln finns ett område med en area, se Figur 1 ovan. Om begränsningslinjen Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=x} flyttas åt höger en liten bit (den vänstra begränsningen ligger kvar) kommer arean att förändras med en viss förändringshastighet under förflyttningen. Det den första delsatsen säger är att areans förändringshastighet är samma som funktionsvärdet Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} .
Detta kan strikt bevisas, och görs så t ex på denna sida på Wikipedia. Här tänker jag istället troliggöra satsen med tre exempel.
Exempel 1
Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(t)=2t}
Exempel 2
Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(t)=t^2}
Exempel 3
Exempel 3
Troliggörande av Del 2
Den andra delen av integralkalkylens fundamentalsats säger oss som sagt hur integraler ska evalueras med hjälp av primitiva funktion och integrationsgränser.
