Logaritmer och logaritmlagarna

Idén med logaritmer

Om vi, till en början, utgår från logaritmbasen 10 så innebär logaritmen Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} för ett tal $A$ det tal som 10 ska höjas upp med för att få talet $A$. Eller enklare uttryckt:

$x=\log _{10}A\iff 10^{x}=A$

T ex gäller att $\log _{10}1000=3$ därför att $10^{3}=1000$ och att $\log _{10}0.01=-2$ därför att $10^{-2}=0.01$

Vilken bas som används är valfri, även om de flesta miniräknare har en snabbknapp för basen 10 och för basen $e\approx 2.718$. Med en valfri logaritmbas $b$ så blir definitionen på logaritm $x$ för ett tal $A$

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\log_{b}A\iff b^x=A}

Logaritmerna härrör från början av 1600-talet, och det finns några räkneregler som förenklar vanliga multiplikations-, divisions- och potensoperationer. Det använde astronomer sig utav vid den tiden för att göra beräkningarna kortare (se denna artkel i Svenska Dagbladet: Godsägaridé fördubblade astronomers liv). Idag används logaritmer som mått vid t ex angivandet av ljudstyrka (decibelskalan är logaritmisk) och av jordbävningars magnitud (Richterskalan är logaritmisk).

Logaritm av en produkt

Logaritmlagen som associerar multiplikation med addition lyder:

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_b(AB)=\log_b A +\log_b B}

Den troliggörs enligt följande:

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = \log_b A\iff A = b^x}

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = \log_b B \iff B = b^y}

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\cdot B=b^x\cdot b^y=b^{x+y}}

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_b(AB)=x+y=\log_bA+\log_bB}

Logaritm av en kvot

Logaritmlagen som associerar division med subtraktion lyder:

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_b\left(\frac{A}{B}\right)=\log_b A-\log_b B}

Den troliggörs enligt följande:

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\log_b A\iff A=b^x}

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\log_b B\iff B=b^y}

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{A}{B}=\frac{b^x}{b^y}=b^{x-y}}

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_b\left(\frac{A}{B} \right)=x-y=\log_b A - \log_b B}

Logaritm av en potens

Logaritmlagen som associerar en exponent med multiplikation lyder:

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_b A^B=B\log A}

Den troliggörs enligt följande:

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\log_b A^B\iff A^B = b^x}

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\log_b A\iff A = b^y}

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^B = \left(b^y \right)^B = b^{By}}

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_b A^B = By = B\log_b A}