Några matematiska härledningar och bevis

Från MaFy
Version från den 2 juni 2019 kl. 08.55 av Nikodemus (diskussion | bidrag) (Skapade sidan med '==Logaritmlagarna== ===Multiplikaton=== Under uppbyggnad. <math>\log(ab)=\log(a)+\log(b)</math> ===Division=== Under uppbyggnad <math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\l...')
(skillnad) ← Äldre version | Nuvarande version (skillnad) | Nyare version → (skillnad)

Logaritmlagarna

Multiplikaton

Under uppbyggnad.

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log(ab)=\log(a)+\log(b)}

Division

Under uppbyggnad

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)}

Potenser

Under uppbyggnad

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log a^b=b\log a}

Värdet på basen av den naturliga logaritm

Metod 1, via serieutveckling

Ansätt Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}

Logaritmering av respektive led ger:

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln y=x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}

Enligt taylorutveckling av Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(1+a)} så gäller

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(1+a)=a-\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{3}-\frac{a^4}{4}+...}

För värden på Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} nära noll gäller enligt detta att Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(1+a)\approx a} (ju närmare noll, desto bättre approximation), varför

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\approx\frac{1}{x}} för stora värden på Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} .

Således gäller att Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln y \approx x\cdot \frac{1}{x}} för stora värden på Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} .

Antilogaritmering ger direkt att Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y\approx e} med gränsvärdet

Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x} enligt ansättningen av Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} ovan.

Metod 2, via l'Hôpital's regel för gränsvärdesberäkning

Hämtad från ”https://cloudheaven.se/mafy/index.php?title=Några_matematiska_härledningar_och_bevis&oldid=68”