Några matematiska härledningar och bevis

Logaritmer och logaritmlagarna

Om vi, till en början, utgår från logaritmbasen 10 så innebär logaritmen $x$ för ett tal $A$ det tal som 10 ska höjas upp med för att få talet $A$. Eller enklare uttryckt:

$x=\log _{10}A\iff 10^{x}=A$

T ex gäller att $\log _{10}1000=3$ därför att $10^{3}=1000$ och att $\log _{10}0.01=-2$ därför att $10^{-2}=0.01$

Vilken bas som används är valfri, även om de flesta miniräknare har en snabbknapp för basen 10 och för basen $e\approx 2.718$. Med en valfri logaritmbas $b$ så blir definitionen på logaritm $x$ för ett tal $A$

$x=\log _{b}A\iff b^{x}=A$

Logaritmerna härrör från början av 1600-talet, och det finns några räkneregler som förenklar vanliga multiplikations-, divisions- och potensoperationer. Det använde astronomer sig utav vid den tiden för att göra beräkningarna kortare (se denna artkel i Svenska Dagbladet: Godsägaridé fördubblade astronomers liv).

Multiplikation

Logaritmlagen som associerar multiplikation med addition lyder:

$\log _{b}(AB)=\log _{b}A+\log _{b}B$

Den troliggörs enligt följande:

$x=\log _{b}A\iff A=b^{x}$

$y=\log _{b}B\iff B=b^{y}$

$A\cdot B=b^{x}\cdot b^{y}=b^{x+y}$

$\log _{b}(AB)=x+y=\log _{b}A+\log _{b}B$

Division

Under uppbyggnad

$\log \left({\frac {a}{b}}\right)=\log(a)-\log(b)$

Potenser

Under uppbyggnad

$\log a^{b}=b\log a$

Värdet på basen av den naturliga logaritm

Metod 1, via serieutveckling

Ansätt $y=\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$

Logaritmering av respektive led ger:

$\ln y=x\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)$

Enligt taylorutveckling av $\ln(1+a)$ så gäller

$\ln(1+a)=a-{\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {a^{3}}{3}}-{\frac {a^{4}}{4}}+...$

För värden på $a$ nära noll gäller enligt detta att $\ln(1+a)\approx a$ (ju närmare noll, desto bättre approximation), varför

$\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)\approx {\frac {1}{x}}$ för stora värden på $x$.

Således gäller att $\ln y\approx x\cdot {\frac {1}{x}}$ för stora värden på $x$.

Antilogaritmering ger direkt att $y\approx e$ med gränsvärdet

$e=\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$ enligt ansättningen av $y$ ovan.

Metod 2, via l'Hôpital's regel för gränsvärdesberäkning

Ansätt $y=\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$ och logaritmera:

$\ln y=\displaystyle \lim _{x\to \infty }\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)$, som kan skrivas om till

$\ln y=\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)}{x^{-1}}}$

Det ser inte så roligt ut, men det syns att såväl täljare och nämnare i uttrycket går mot noll när $x$ ökar obegränsat. Enligt l'Hôpital's regel gäller då att gränsvärdet för uttrycket blir detsamma som gränsvärdet då täljare och nämnare deriveras:

$\ln y=\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\left({\frac {1}{1+{\frac {1}{x}}}}\right)\cdot \left(0-x^{-2}\right)}{-x^{-2}}}=\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left({\frac {1}{1+{\frac {1}{x}}}}\right)=1$

Eftersom $\ln y=1$ gäller att $y=\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$.