Några matematiska härledningar och bevis
Värdet på basen av den naturliga logaritm
Metod 1, via serieutveckling
Ansätt Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}
Logaritmering av respektive led ger:
Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln y=x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}
Enligt taylorutveckling av Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(1+a)} så gäller
Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(1+a)=a-\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{3}-\frac{a^4}{4}+...}
För värden på Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} nära noll gäller enligt detta att Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(1+a)\approx a} (ju närmare noll, desto bättre approximation), varför
Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\approx\frac{1}{x}} för stora värden på Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} .
Således gäller att Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln y \approx x\cdot \frac{1}{x}} för stora värden på Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} .
Antilogaritmering ger direkt att Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y\approx e} med gränsvärdet
Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x} enligt ansättningen av Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} ovan.
Metod 2, via l'Hôpital's regel för gränsvärdesberäkning
Ansätt Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x} och logaritmera:
Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\displaystyle\lim_{x\to \infty}x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)} , som kan skrivas om till
Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln y = \displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x^{-1}}}
Det ser inte så roligt ut, men det syns att såväl täljare och nämnare i uttrycket går mot noll när Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ökar obegränsat. Enligt l'Hôpital's regel gäller då att gränsvärdet för uttrycket blir detsamma som gränsvärdet då täljare och nämnare deriveras:
Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)\cdot\left(0-x^{-2} \right)}{-x^{-2}}=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \right)=1}
Eftersom Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln y=1} gäller att Misslyckades med att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via insticksmodul till webbläsaren): Ogiltigt svar ("Math extension cannot connect to Restbase.") från server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e} .
